ภาคตัดกรวย

1)    วงกลม

        รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม
                สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h,k) และรัศมียาว r หน่วย คือ
             

          เช่น  จงหาจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีของสมการ  (x+2)2 +(y-3)2 = 25

                    วิธีทำ     รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม คือ

                                           (x-h)2 +(y-k)2 = r2

                                   จะพบว่า   h = -2   ,    k =  3  และ  r = 5

Note

        ถ้าวงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0) รัศมียาว r หน่วย

  แสดงว่า  h = 0 , k = 0 จะมีสมการวงกลม คือ x2 + y2 = r2

        รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม คือ x2 + y2 +ax + by + c = 0

 ซึ่งสามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

2) วงรี

บทนิยาม
         สำหรับวงรี x2/a2 + y2/b2 = 1 หรือ x2/b2 + y2/a2 = 1 เมื่อ a>b>0
ความเยื้องศูนย์กลาง ของวงรี แทนด้วย e คือ อัตราส่วนของ c ต่อ a
เมื่อ  c = รากที่สองของ a2 - b2 นั่นคือ e = c/a

                วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)

                                                             

                  

                  วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและแกนเอกอยู่บนพิกัด

                                           

      

                 

สรุปสมการวงรี

                               

3) พาราโบลา

บทนิยาม

          เซตของจุดทุกุดบนระนาบ ซึ่งห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่งบนระนาบ

          และจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้นเป็นระยะทางเท่ากัน

                                                     

                                                 ส่วนประกอบของพาราโบลา

  

ตัวอย่าง     จงหาสมการของพาราโบราที่มีจุดยอด V(0,0) และโฟกัส F(0,3) 

วิํธีทำ         เนื่องจาก จุดยอดคือ V(0,0) และโฟกัสคือ F(0,3) 

                 จะได้ว่า  c = 3 และไดเรกตริกซ์ คือ y = -3 ดังนั้น สมการของ

                 พาราโบราคือ  

                                        x2   =    4(3)y         (x2 =  4cy โดยที่ c = 3)

                                        x2   =    12y

ans ;   x2   =    12y

4) ไฮเพอร์โบลา

บทนิยาม
                   ไฮเพอร์โบลา (hyperbola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่ง ผลต่าง ของระยะทางจากจุดใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้อยกว่าระยะห่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกล่าวนี้ เรียกว่า โฟกัส ของไฮเพอร์โบลา

                

                

วิธีเขียนกราฟของไฮเพอร์โบลา

1. วาดรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง ที่มีแต่ละด้านขนานกับแกนพิกัด และตัดแแกนที่จุด (-a,0)

     (a,0) , (0,-b) และ (0,b)

2. ลากเส้นกำกับ คือ เส้นตรงท ี่เกิดจากการต่อเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากศูนย์กลาง

3. ลงจุดยอด คือ จุด (-a,0) และ (a,0) ที่ไฮเพอร์โบลา  x2/a2 - y2/b2 = 1 ตัดแกน x ทั้งสองหรือ

    จุด (0,-a) และ (0,a) ที่ไฮเพอร์โบลา y2/a2 - x2/b2 = 1 ตัดแกน y ทั้งสอง

4. เขียนไฮเพอร์โบลา เริ่มต้นจากจุดยอดทีละจุด เขียนแต่ละกิ่งของไฮเพอร์โบลาโดยลากเส้นโค้ง

   ลู่เข้าหาเส้นกำกับ

5) การเลื่อนกราฟ

      การเลื่อนกราฟของสมการ
      ถ้า h และ K เป็นจำนวนจริงบวกแล้ว การแทน x ด้วย x-h หรือ x+h และการแทน y ด้วย
      y-k หรือ y+k จะมีผลต่อกราฟของสทการใดๆ ในตัวแปร x และ y ดังนี้
   
                  วิธีการแทน                                                           กราฟเลื่อนไปอย่างไร
             1. แทน x ด้วย x-h                                                          ทางขวา h หน่วย
             2. แทน x ด้วย x+h                                                          ทางซ้าย h หน่วย
             3. แทน y ด้วย y-k                                                           ขึ้นบน k หน่วย
             4. แทน y ด้วย y+k                                                           ลงล่าง k หน่วย

สรุป

สมการทั่วไปของภาคตัดกรวย

            กราฟของสมการ Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 เมื่อ A และ C ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน

เป็นภาคตัดกรวยหรือภาคตัดกรวยลดรูป ในกรณีที่ไม่ใช่ภาคตัดกรวยลดรูป กราฟของสมการเป็น

1. วงกลม                  ถ้า A = C

2. วง                        ถ้า AC>0

3. พาราโบลา            ถ้า AC = 0

4. ไฮเพอร์โบลา         ถ้า AC<0